gerak harmonik

Fisika Kelas XI IPA pada bab awal dibahas mengenai kinematika dengan analisis vektor. Materi tentang perpindahan, menentukan persamaan posisi, kecepatan ataupun percepatan dengan menggunakan operasi integral atau diferensial. Dalam bab ini siswa dituntut lebih konsentrasi karena materi integral dan diferensial sendiri di matematika belum diajarkan, nanti semester dua (barangkali) di pelajaran matematika baru diajarkan. Bab II tentang gravitasi Newton demikian juga menuntut lebih konsentrasi siswa.  Untuk materi selanjutnya agak ‘ringan’ terkecuali semester II tentang kesetimbangan benda tegar.  Insya’Allah dengan niat dan semangat tinggi materi yang tergolong agak atau rumit bisa difahami.

Yang pertama terlebih dahulu saya akan memulai dari materi gerak harmonik

lets enjoy it bro

Gerak Harmonik

Posted on January 4, 2011. Filed under: gelombang | Tags: fisik |

Benda yang melakukan gerak lurus berubah beraturan, mempunyai percepatan yang tetap, Ini berarti pada benda senantiasa bekerja gaya yang tetap baik arahnya maupun besarnya. Bila gayanya selalu berubah-ubah, percepatannyapun berubah-ubah pula.
Gerak yang berulang dalam selang waktu yang sama disebut Gerak Periodik. Gerak periodik ini selalu dapat dinyatakan dalam fungsi sinus atau cosinus, oleh sebab itu gerak periodik disebut Gerak Harmonik. Jika gerak yang periodik ini bergerak bolak-balik melalui lintasan yang sama disebut Getaran atau Osilasi.
Waktu yang dibutuhkan untuk menempuh satu lintasan bolak-balik disebut Periode, sedangkan banyaknya getaran tiap satuan waktu disebut Frekwensi. Hubungan antara periode (T) dan frekwensi (f) menurut pernyataan ini adalah : 
Satuan frekwensi dalam SI adalah putaran per detik atau Hertz (Hz). Posisi pada saat resultan gaya bekerja pada partikel yang bergetar sama dengan nol disebut posisi seimbang.
Perhatikan sebuah benda massanya m digantungkan pada ujung pegas, pegas bertambah panjang. Dalam keadaan seimbang, gaya berat w sama dengan gaya pegas F, resultan gaya sama dengan nol, beban diam.
Dari kesimbangannya beban diberi simpangan y, pada beban bekerja gaya F, gaya ini cenderung menggerakkan beban keatas. Gaya pegas merupakan gaya penggerak, padahal gaya pegas sebanding dengan simpangan pegas.
F = – k y ; k tetapan pegas.
Mudah dipahami bahwa makin kecil simpangan makin kecil pula gaya penggerak. Gerakan yang gaya penggeraknya sebanding dengan simpangan disebut Gerak Harmonis ( Selaras ).
Tanda negatif ( – ) harus digunakan karena arah F dan Y selalu berlawanan.
Menurut Hukum Newton II, pada gerak benda ini berlaku :
F = m .a
Gaya pemulih pada gerak benda ini adalah : F = – k . y

Persamaan ini disebut persamaan differensial gerak harmonik sederhana.

GERAK HARMONIK SEDERHANA.
Untuk mencari persamaan gerak harmonik sederhana dengan jalan mencari penyelesaian persamaan diferensial gerak harmonik sederhana yaitu suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga diturunkan dua kali terhadap t diperoleh negatif dari fungsi tersebut dikalikan dengan suatu. Fungsi yang mempunyai sifat demikian adalah fungsi Sinus atau fungsi Cosinus.
Misalkan diambil fungsi sinus sebagai penyelesaian : y = A sin ( w t + q )
dengan A, w, dan q masih harus dicari harganya.
Bila persamaan di atas diturunkan dua kali terhadap waktu t maka diperoleh :

Bila persamaan di atas disubstitusikan ke persamaan differensial gerak harmonik sederhana, diperoleh :

Jadi agar fungsi sin tersebut benar-benar menjadi penyelesaian persamaan differensial gerak harmonik sederhana, diperoleh :
 atau 
Jika waktu t dalam persamaan y = A sin ( w t + q ) ditambah dengan  maka,
diperoleh :



Jadi fungsi tersebut berulang kembali setelah selang waktu  . Oleh sebab itu, adalah periode geraknya, atau 
Karena  maka diperoleh :

dan 
jadi : 
Besaran w disebut juga frekwensi sudut (anguler), karena dapat diartikan sebagai besar sudut (dalam radian) yang dikelilingi perdetik.
Persamaan simpangan gerak harmonis adalah : y = A sin ( w t + q )
Perhatikan persamaan di atas.
Sinus mempunyai harga dari -1 sampai dengan 1, simpangan y mempunyai maksimum A diukur dari posisi seimbang y = 0. A (y maksimum) disebut Amplitudo.
Besaran ( w t + q ) disebut fase gerak dan w disebut konstanta fase.
Kecepatan dan percepatan gerak harmonik sederhana dicari dengan jalan mendeferensialkan persamaan geraknya terhadap waktu.
Simpangan gerak harmonik sederhana : y = A sin ( w t + q )
Kecepatannya : 
percepatannya : 
PHASE ( j )
Gerak harmonis sederhana akan lebih mudah diketahui bila dikenal keadaannya (phasenya). Phase suatu titik yang bergetar didefinisikan sebagai waktu sejak meninggalkan titik seimbang dibagi dengan periodenya.

Bila titik Q telah bergetar t detik maka phasenya : 
Sesudah bergetar ( t + T ) detik phasenya : 
Keadaan titik Q sama dengan keadaan titik Q dalam hal yang pertama.
Mudah dipahami bahwa titik-titik yang phasenya  keadaannya sama.
Perbedaan phase.
Titik-titik yang phasenya sama mempunyai perbedaan phase : 0, 1, 2, 3 , 4 , ….. dst.
Titik-titik yang keadaannya berlawanan mempunyai perbedaan phase : 
SUPERPOSISI 2 GERAK HARMONIK SEDERHANA YANG
FREKWENSINYA SAMA.
Misalkan sebuah benda melakukan 2 gerak harmonik secara bersama-sama dengan persamaan :
y₁ = A₁ sin ( w t + q₁ ) dan y₂ = A₂ sin ( w t + q₂ )
Gerak resultannya : y = y₁ + y₂
A sin ( w t + q ) = A₁ sin ( w t + q₁ ) = A₂ sin ( w t + q₂ )
Menurut rumus trigonometri :
A sin ( w t + q ) = A sin w t cos q + A cos w t sin q
A₁ sin ( w t + q₁ ) = A₁ sin w t cos q₁ + A₁ cos w t sin q₁
A₂ sin ( w t + q₂ ) = A₂ sin w t cos q₂ + A₂ cos w t sin q₂
Maka diperoleh hubungan :
A cos q = A₁ cos q₁ + A₂ cos q₂
A sin q = A₁ sin q₁ + A₂ sin q₂
jadi 
Sedangkan amplitudo gerak resultan di dapat dengan mengkuadratkan persamaan di atas. Diperoleh :
A² = A₁ ² + A₂ ² + 2 A₁ A₂ cos ( q₁ – q₂ )
atau

Cara di atas adalah cara penyelesaian dengan matematis.
Berikut dapat diselesaikan dengan cara grafis.
yaitu dengan menggambar masing-masing persamaan gerak harmonis kemudian dijumlahkan secara aljabar dari masing-masing amplitudo setiap detik getarannya untuk dilukis.
Misal dua buah gerak harmonis masing-masing :
y₁ = 3 sin ( w t + 30^o ) dan y₂ = 2 sin ( w t + 60^o )
Cara matematis.
A₁ = 3 cm dan A₂ = 2 cm



A = ………………..

q = …….
Persamaan gerak superposisinya : y = ………… sin ( t + ……. )
ENERGI PADA GERAK HARMONIS SEDERHANA.
Pada gerak harmonik sederhana energi mekaniknya KEKAL.
E_(total) = Ep + Ek
Ep = k y²
= m w ² A² sin² (w t + q )
Ek = m v²
= m {w A cos (w t + q )}²
= m w ² A² cos² (w t + q )
E_(total) = Ep + Ek
= m w ² A² sin² (w t + q ) + m w ² A² cos² (w t + q )
=m w ² A² ( sin² (w t + q ) + cos² (w t + q ))
=m w ² A² atau E_(total) = k A²
—–o0o–o0o–o0o–o0o—–
CONTOH SOAL
(Di Diskusikan di kelas)
Contoh 1.
Suatu pegas jika diberi beban 1 kg bertambah panjang , kemudian beban di tarik lagi ke bawah sejauh 3 cm dan dilepaskan. Hitunglah besar energi kinetik pada saat 1/3 detik. g = 10 m/s².
Contoh 2.
Sebuah benda melakukan GHS dalam 11 detik melakukan 220 getaran. Pada saat simpangan 30 cm kecepatannya ½ kali kecepatan maksimumnya. Hitunglah amplitudo getaran ini.
Contoh 3.
Sebuah benda melakukan GHS pada saat simpangannya 5 cm kecepatannya 3 m/s pada saat simpangannya 3 cm kecepatannya 5 m/s. Hitunglah amplitudo GHS tersebut.
Contoh 4.
Suatu benda melakukan GHS, suatu saat perbandingan energi potensial dan energi kinetiknya adalah 1. Pada saat itu geraknya ke atas dan simpangan berada di bawah titik setimbang. Jika amplitudo GHS 10 cm dan waktu untuk mencapai keadaan itu 
Hitunglah kecepatan GHS saat itu.
Contoh 5.
Suatu benda melakukan GHS, pada saat simpangannya 10 cm di atas titik setimbang percepatannya 1000 p² cm/s²arah menuju titik setimbang dan arah geraknya ke bawah. Hitunglah waktu yang dibutuhkan untuk mencapai keadaan itu jika pada saat itu kecepatannya 100p cm/s.

TUGAS SOAL-SOAL
1. Sebuah benda bergetar harmonik sederhana dengan persamaan y = 5 sin ( 3p t + p /6)
y dalam meter, t dalam detik, dan besaran sudut dalam radian. Tentukan :
a. Amplitudo, frekwensi dan periode geraknya.
b. Kecepatan dan percepatan sesaat.
c. Posisi, kecepatan dan percepatan pada saat t = 2 detik.
d. Kecepatan dan percepatan maksimumnya.
e. Energi kinetik dan energi potensialnya saat t = 1 detik jika m = 100 gram.
f. Energi totalnya.
2. Sebuah benda yang massanya 0,75 kg dihubungkan dengan pegas ideal yang konstanta pegasnya 25 N/m, bergetar pada bidang horisontal yang licin tanpa gesekan. Tentukan :
a. Energi sistem dan kecepatan maksimum benda apabila amplitudo = 4 cm.
b. Kecepatan benda pada saat simpangannya 3 cm.
c. Energi kinetik dan energi potensial sistem pada saat simpangannya 3 cm.
3. Sebuah benda serentak melakukan dua gerak harmonik sederhana dengan persamaan:
y₁ = 20 sin ( 30p t + p /3)
y₂ = 25 sin ( 30p t + p /6)
y dalam cm dan besaran sudut dalam radian)
Tentukanlah :
a. Persamaan gerak resultan.
b. Simpangan gerak resultan pada saat t = 0,2 detik.
4. Sebuah pegas dapat memanjang hingga 30 cm jika di tarik gaya 0,5 N. Sebuah benda yang massanya 50 gram digantungkan pada ujung pegas kemudian diberi simpangan 30 cm dari titik seimbangnya setelah itu dilepaskan, tentukanlah :
a. Periodenya.
b. Persamaan gerak dari benda tersebut.
c. Kecepatan, percepatan, energi kinetik, energi potensial pada saat simpangannya
20 cm.
9. Dua getaran selaras masing-masing dinyatakan dengan persaman :
y₁ = 15 sin 8t dan y₂ = 18 sin (8t + p /4) amplitudo dalam cm. Tentukanlah :
a. Periode masing-masing getaran.
b. Beda fase kedua getaran.
c. Kecepatan dan percepatan maksimum masing-masing getaran selaras tersebut.
d. Persamaan getaran resultan dari dua getaran selaras tersebut.
10. Berapa simpangan getaran selaras yang menggetar vertikal, agar pada saat itu energi potensialnya sama dengan energi kinetiknya, jika amplitudonya 10 cm.
11. Benda yang bermassa 100 gram bergetar selaras vertikal dengan amplitudo 5 cm dan frekwensinya 10 cps. Pada suatu ketika fasenya 1/12, maka tentukan :
a. Simpangan pada saat itu.
b. Gaya yang bekerja pada saat itu.
c. Energi potensial terhadap kedudukan setimbang pada saat itu.
d. Kelajuan dan perlajuan benda pada saat itu.
e. Energi kinetik benda pada saat itu.
8. Ditentukan persaman gerak getar adalah y = 10 sin 50pt, y dalam cm dan t dalam detik. Ditanyakan :
a. Persamaan percepatannya.
b. Percepatan maksimumnya.
c. Bila suatu saat fasenya = 1/5, telah berapa detik benda bergetar.
d. Hitung panjang simpangan pada saat soal 8c.
e. Hitung besarnya kecepatan getar pada saat t = 1/75 detik.
9. Kecepatan maksimum suatu gerak harmonis sederhana 7 m/s dan percepatan maksimumnya 20 m/s². Hitunglah amplitudonya.
10. Suatu benda melakukan GHS pada saat simpangannya 10 cm di atas titik setimbang mempunyai kecepatan ½ kali kecepatan maksimumnya arah geraknya ke bawah, sedang percepatan maksimum GHS adalah 8000p² cm/s²Hitunglah waktu yang dibutuhkan untuk mencapai itu.

Klas 2 Bab 3 Elastisitas & Gerak Harmonik Sederhana

Soal 1

 

---

Soal 2

Sebuah pegas dengan k = 45 N/m digantungkan massa 225 gr, panjang pegas menjadi 35 cm. Jika g = 10 m/s² , tentukan panjang pegas tanpa beban!

Penyelesaian :

Pada pegas berlaku F = k.x ; F yang menarik pegas adalah berat dari massa 225 gr---> F = m.g  = 0,225 .10  = 2,25 N = k.x = 45. x

x = 0,05 m = 5 cm. Jadi panjang pegas tanpa beban = 35 cm - 5 cm = 30 cm

---

Soal 3

Sebuah bandul mempunyai periode ayunan 4 s. Hitung periodenya jika :

a). panjang tali ditambah panjang 60 % nya

b). panjang tali dikurang 60 % nya.

Penyelesaian :

T = 2∏√(L/g)

a). Jika tali diubah menjadi 160% dari L --> T = 2∏√(L/g) = 2∏√(16L/10g) = 2∏√(L/g).√(16/10) = 4 x 1,2649.. = 5,05 s

b). Jika tali diubah menjadi 40% dari L --> T = 2∏√(L/g) = 2∏√(4L/10g) = 2∏√(L/g).√(4/10) = 4 x 0,632.. = 2,5298... s

---

Soal 4

Suatu bandul mempunyai panjang tali 70 cm. Periode ayunan bandul 1,78 s. Tentukan percepatan gravitasi setempat !

Penyelesaian :

T = 2∏√(L/g) ----> g = 4∏². L / T² = 8,72 m/s²

---

Soal 5

Seseorang dengan massa 50 kg bergantung pada pegas sehingga pegas bertambah panjang 10 cm. Jika g = 10 m/s2 , Tentukan tetapan pegas!

Penyelesaian :

Dengan bergantung di pegas maka pegas tertarik dengan gaya berat sebesar W = mg = 500 N. maka tetapan pegas dapat dihitung dengan rumus k = F/x = 500 / 0,1 = 5000 N/m

---

Soal 6

Beberapa pegas disusun seperti gambar dibawah ini :

 

Jika k1 = k2 = 100 N/m ; k3 = k4 = k5 = k6 = 50 N/m dan k7 = 200 N/m, Tentukan konstanta pegas gabungan !.

k3,k4,k5,k6 susunannya paralel, makan k_pengganti untuk k3,k4,k5,k6 adalah Kp = k3+k4+k5+k6 = 200 N/m

K_{pengganti seluruh susunan pegas} adalah k1, seri dgn k2,  seri dengan Kp seri dengan k7, maka berlaku :

1/Kpengganti seluruh susu

nan pegas = 1/k1 + 1/k2  + 1/Kp + 1/k7

didapat Kpengganti seluruh susunan pegas = 33,3 N/m

---

Soal 7

Sebuah pegas yang digantung vertikal panjangnya 15 cm. Jlka direnggangkan dengan gaya 0,5 N, panjang pegas menjadi 27 cm. Tentukan panjang pegas jika direnggangka

n dengan gaya 0,6 N

Penyelesaian :

 

---

Soal 8

Suatu titik zat bergetar harmonis dengan amplitudo 8 cm dan periode getamya T = 0,6 detik Tentukan simpangan nya setelah menggetar t = 0,2 sekon !.

Penyelesaian :

---

Soal 9

Sebuah partikel melakukan getaran selaras dengan persamaan y = 6 sin 0,2 t. Y dalam cm dan t dalam detik. Tentukan

a). Amplitudo, periode dan frequensi getaran

b). persamaan kecepatan dan percepatannya

c). simpangan, kecepatan dan percepatannya saat t = 2,5Π s

Penyelesaian :

a). Persamaan getaran selaras adalah Y =  A sin ωt ; sehingga dengan membandingkan kedua persamaan diketahui bahwa Amplitudo getaran = 6 cm;

ω = 2Π/T = 0,2 --> T = 2Π/0,2 = 10Π s ; f = 1/T --> f = 1/(10Π) Hz

b). v = dy/dt = 6 cos 0,2t . 0,2 = 0,2 . 6 . cos 0,2t = 6/5 cos 0,2t ; percepatan = dv/dt = 6/5 (-sin 0,2t). 0,2 = - 6/25 sin 0,2t

c).  pada t = 2,5Π s

----> x = 6 sin 0,2 2,5Π = 6 sin Π/2 = 6 cm ;

----> v = 6/5 cos 0,2 2,5Π = 6/5 cos Π/2 = 0 cm/s

----> a = - 6/25 sin 0,2 2,5Π = -6/25 sin Π/2 = -6/25 cm/s2

---

Soal 10

Sebuah ayunan mempunyai periode ayunan 24 ms. Tentukan waktu minimum yang diperlukan untuk mencapai simpangan ½√3 dari Ampltudo!

Penyelesaian :

y = A sin ωt--> ω = 2Π/T = 2Π/(24 10^-3)---> y = A sin (2Π / (24 10^-3))t ---> ½√3 A = A sin (2Π / (24 10^-3))t

½√3  =  sin (2Π / (24 10^-3))t --> arc sin (½√3)  =  (2Π / (24 10^-3))t --> Π/3 = 2Πt / (24 10^-3)) --> t = 4 10^-3 s.

---

Soal 11

Tegangan pada seutas kawat yang luas penampangnya 2 cm² dan diberi gaya 3.000 N adalah

Penyelesaian :

Tegangan = σ = F/A = 3000/(2 10^-4 ) = 15000000 N/m²

---

Soal 10

Tiga buah pegas dengan pegas k1 = 200 N/m, k2 = 400 N/m dqn k3 = 300 N/m. Jika pegas disusun  k1 dan k2 disusun paralel, kemudian diseri dengan k3, maka besarnya konstanta pegas pengganti adalah

Penyelesaian :

k_12pengganti = k1 + k2 = 600 N/m

k_12pengganti seri dengan k₃ maka berlaku  1/k_pengganti = 1/k_12pengganti + 1/k3

akan didapat k_pengganti = 200 N/m

---

Soal 11

Benda bermassa 2 kg diletakkan pada ujung pegas yang tergantung vertikal. Jika pegas di getarkan dan konsatanta pegas 200 N/m, maka periode getarnya

Penyelesaian :

T = 2Π √(m/k) = 2Π √(2/200) = 2Π/10 = Π/5 s

---

Soal 12

Sebuah partikel bergetar memenuhi persamaan y = 4 sin 24Πt, y adalah simpangan dalam meter dan t waktu dalam second, tentukan amplitudo dan periode getaran.

Penyelesaian :

Persamaan umum getaran selaras adalah y = A sin ωt ----> amplitudo A = 4 m ; ω = 24Π = 2Π/T ----->T = 2Π/24Π = 1/12 s

Contoh soal 1 :

Sebuah benda digantungkan pada sebuah tali yang digantung vertikal. Benda tersebut ditarik ke samping dan dilepaskan sehingga benda bergerak bolak balik di antara dua titik terpisah sejauh 20 cm. Setelah 20 detik dilepaskan, benda melakukan getaran sebanyak 40 kali. Hitunglah frekuensi, periode dan amplitudo getaran benda tersebut.

Panduan jawaban :

a) Frekuensi adalah banyaknya getaran yang dilakukan benda selama satu detik. Benda melakukan getaran sebanyak 40 kali selama 20 detik. Dengan demikian, selama 1 detik benda tersebut melakukan getaran sebanyak 2 kali (40 / 20).

b) Periode adalah waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu getaran (T).

T = 1/f = ½ = 0,5 sekon

Jadi benda melakukan satu getaran selama 0,5 detik.

c) Amplitudo adalah simpangan maksimum diukur dari titik keseimbangan. Karena benda bergerak bolak balik alias melakukan getaran di antara dua titik terpisah sejauh 20 cm, maka amplitudo getaran benda adalah setengah dari lintasan yang dilalui benda tersebut. Dengan demikian, amplitudo = ½ (20 cm) = 10 cm

Contoh soal 2 :

Sebuah benda digantungkan pada sebuah pegas dan berada pada titik kesetimbangan. Benda tersebut ditarik ke bawah sejauh 5 cm dan dilepaskan. Jika benda melalui titik terendah sebanyak 10 kali selama 5 detik, tentukanlah frekuensi, periode dan amplitudo getaran benda tersebut.

Panduan jawaban :

a) Frekuensi

Frekuensi adalah banyaknya getaran yang dilakukan benda selama satu detik. Pada soal dikatakan bahwa benda tersebut melewati titik terendah sebanyak 10 kali selama 5 detik. Agar benda bisa melewati titik terendah maka benda tersebut pasti melakukan getaran (gerakan bolak balik dari titik terendah menuju titik tertinggi dan kembali lagi ke titik terendah). Karena benda melewati titik terendah sebanyak 10 kali selama 5 detik maka dapat dikatakan bahwa benda melakukan getaran sebanyak 10 kali selama 5 detik. Dengan demikian, selama 1 detik benda tersebut melakukan getaran sebanyak 2 kali (10 / 5).

b) Periode

Periode adalah waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu getaran (T).

T = 1/f = ½ = 0,5 sekon

Jadi benda melakukan satu getaran selama 0,5 detik.

c) Amplitudo adalah simpangan maksimum diukur dari titik keseimbangan. Pada soal di atas, amplitudo getaran benda adalah 5 cm

Contoh soal 3 :

Sebuah sedan bermassa 1200 kg ditumpangi 3 orang yang memiliki massa total 200 kg. Pegas mobil tersebut tertekan sejauh 5 cm. Anggap saja percepatan gravitasi = 10 m/s²

Hitunglah :

a) konstanta pegas mobil tersebut

b) berapa jauh pegas sedan tersebut tertekan jika sedan dinaiki 4 orang dan bagasinya dipenuhi dengan muatan sehingga total massa adalah 300 kg ?

Panduan jawaban :

Pegas sedan mulai tertekan ketika dimuati beban bermassa 200 kg. Dengan demikian massa sedan tidak disertakan dalam perhitungan, karena ketika sedan tidak dimuati beban, pegas sedan berada pada posisi setimbang.

a) konstanta pegas

b) apabila sedan dimuati beban bermassa 300 kg, maka

Contoh Soal:

Buah durian tergantung pada tangkai pohonnya setinggi 8 meter, jika massa durian 2 kg dan percepatan gravitasi 10 N/kg, berapa energi potensial yang dimiliki durian tersebut ?

Penyelesaian :

Diketahui :
h = 8 meter
m = 2 kg
g = 10 N/kg
Ditanyakan : Ep = ……… ?

Jawab :
E_p = m.g.h
E_p = 2 kg. 10 N/kg. 8 m
E_p = 160 Nm
E_p = 160 J

Jadi energi potensial yang dimiliki oleh buah durian adalah 160 joule.

maaf jika kurang lengkap agar anda cari sendiri dengan mengcopy alamat kotak kosong tsb